Ejercicio de límites

Viernes, 9 Mayo 2008 a 5:46 pm · Archivado en 1 ·Etiquetado , ,

\textrm{Sea }n\in{\mathbb{N}}\textrm{ tal que }n\ge3.\\ \textrm{Deducir la desigualdad }-x^2\le x^n\le x^2\textrm{, para }-1<x<1.\\ \textrm{Usar despu\'es el hecho de que}\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}x^2=0 \textrm{ para probar que}\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}x^n=0.

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Números complejos : Forma polar

Domingo, 13 Abril 2008 a 2:43 pm · Archivado en 1 ·Etiquetado , ,

Algunas veces, es más conveniente la representación de un número complejo en su forma polar que en otras representaciones (forma cartesiana, por ejemplo).
Este caso se da, por ejemplo, cuando queremos obtener una potencia de un número complejo.
La forma polar o trigonométrica se obtiene del siguiente gráfico:

Forma trigonométrica de un número complejo.

Se observa que r=\left |{z}\right |=\left |{(a,b)}\right | y que \phi=arg(z)= \displaystyle \arctan{\frac{b}{a}}.
Además, \displaystyle{ \left\{ { \displaystyle \sin{\phi}=\frac{b}{r}\rightarrow b=r\sin{\phi}\atop \displaystyle \cos{\phi}=\frac{a}{r}\rightarrow a=r\sin{\phi}}\right.}
de donde: z=(a,b)=a+bi=r\cos{\phi}+ir\sin{\phi}=r(\cos{\phi}+i\sin{\phi}).
Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar de un número complejo, la cual está en términos del módulo \left |{z}\right |=r y el argumento \phi .

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Punto de acumulación

Sábado, 12 Abril 2008 a 6:16 pm · Archivado en Cálculo ·Etiquetado , ,

\textrm{Un punto } a \textrm{ es punto de acumulaci\'on de un conjunto } S \ne\phi \textrm{ si} \\ \textrm{todo entorno reducido de } a \textrm{ contiene al menos un punto de }S. \\ \textrm{En s\'imbolos, tenemos que } a \textrm{ es punto de acumulaci\'on de } S \Leftrightarrow \\ N' (a,\delta) \cap Dom_f \ne \phi. \\ \\ \underline{Nota}: N' (a,\delta)=\left\{{x \in \mathbb{R}\textrm{ / }0<\left |{x-a}\right |<\delta}\right\}.

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Inclusión canónica

Domingo, 6 Abril 2008 a 7:04 pm · Archivado en Academia ·Etiquetado , ,

\textrm{Sea } A \textrm{ un subconjunto de un conjunto } X \textrm{. La} \textbf{ inclusi\'on can\'o-} \\ \textbf{nica } \textrm{de } A \textrm{ en } X \textrm{, es la aplicaci\'on } i_A : A \rightarrow{X} \textrm{ tal que: } \\ i_A(a)=a \textrm{ , } \forall a \in{A}. \\ \textrm{En particular, para cualquier conjunto } A \textrm{, la inclusi\'on can\'onica} \\ \textrm{de } A \textrm{ en } A \textrm{ se denomina la} \textbf{ aplicaci\'on identidad}.

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Límite de una función

Jueves, 3 Abril 2008 a 9:13 pm · Archivado en Cálculo ·Etiquetado , ,

{\text{Se dice que una funci\'on }}f:A \to \mathbb{R}{\text{ tiene l\'imite }}L{\text{ cuando }}x \\ {\text{tiende a }} a{\text{ (punto de acumulaci\'on de }}A{\text{)}}{\text{,}}{\text{ si para todo }}\varepsilon > 0, \\\,{\text{existe una }}\delta > 0{\text{ tal que si: }} 0 < \left| {x - a} \right| < \delta ,{\text{ entonces }} \\ \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon .

{\text{Es decir}}{\text{, }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L{\text{ }} \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon > 0,{\text{ }}\exists {\text{ }}\delta > 0{\text{ }}/{\text{ }}0 <\left| {x - a} \right| < \delta {\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon .

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Ejercicio: Continuidad de una función

Sábado, 9 Febrero 2008 a 12:43 pm · Archivado en Cálculo ·Etiquetado , , ,

\textrm{Sea } f \textrm{ una funci\'on que existe en todo } \mathbb{R} \textrm{ tal que:} \\ \textrm{a. Existe } f'(0). \\ \textrm{b. }f(x+y)=f(x)+f(y) \textrm{ ; } \forall x \textrm{,}y \in \mathbb{R}. \\ \textrm{Pruebe que } f \textrm{ es una funci\'on cont\'inua en cualquier punto } c \in{\mathbb{R}}.

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